Diharapkandengan Latihan Soal Menentukan Banyaknya Pemetaan yang Mungkin dari Dua Himpunan Kelas 8 dan Pembahasannya ini dapat bermanfaat baik Guru maupun Siswa dalam mempersiapkan diri menjelang kegiatan Ulangan dan Ujian khususnya untuk Mata Pelajaran matematika. Kritik dan saran saya harapkan untuk kemajuan blog ini dimasa yang akan datang. Dapatkan berbagai Soal UH, UTS, UAS, UKK, UN, TO Untukmemantapkan pemahaman Anda tentang cara menentukan banyaknya pemetaan yang mungkin dari dua himpunan, silahkan simak dua contoh soal di bawah ini. Jika A = {bilangan prima kurang dari 5} dan B = {huruf vokal}, hitunglah banyaknya pemetaan yang mungkin. b. dari B ke A, tanpa menggambar diagram panahnya. Jadi banyak korespondensi satu-satu yang mungkin antara himpunan A dan himpunan B adalah 120. Author : Dan lajanto. Misalkan n bilangan asli, k konstanta, serta f dan g fungsi-fungsi yang mempunyai limit di c , maka: Teorema 1 (T.1) : lim x → Blog Archive 2022 (58) June (5) May (21) Persamaanx 3 - 22x 2 + 85x - 4.000 = 0 merupakan persamaan suku banyak. Kali ini kita akan membahas materi tentang suku banyak. Pengertian Suku Banyak. Suku abnyak atau sering disebut dengan polinom merupakan bentuk suku suku dengan nilai banyak yang disusun dari perubah variabel dan konstanta. Jarijari yang lebih kecil mengurangi kecepatan pada daerah keluar yang menguntungkan bagi keselamatan pejalan kaki yang menyeberang. Jari-jari yang kecil juga memaksa kendaran masuk memperlambat kecepatannya sebelum memasuki daerah konflik, yang mungkin menyebabkan tabrakan depan belakang lebih banyak dari bundaran yang lebih besar. du93R. MatematikaALJABAR Kelas 8 SMPRELASI DAN FUNGSIFungsi PemetaanFungsi PemetaanRELASI DAN FUNGSIALJABARMatematikaRekomendasi video solusi lainnya0427Dari himpunan pasangan berurutan berikut ini I.{1,2, ...0027Pada pemetaan {1,6, 2,5, 3,7, 4,0, 5,1} domainn...0031Domain dari fungsi linier fx = 4x - 8 adalah0309Jumlah 20 suku pertama suatu deret aritmetika ialah 500. ...Teks videoUntuk mengerjakan soal seperti ini kita harus terlebih dahulu mengetahui rumus untuk menentukan banyak pemetaan dari himpunan yang satu ke himpunan yang lainnya. Jika kita memiliki dua himpunan yaitu himpunan a dan juga himpunan b dan kita disuruh untuk mencari pemetaan jumlah pemetaan dari himpunan a ke himpunan b maka rumus yang digunakan adalah Jumlah anggota dari himpunan b dipangkatkan dengan jumlah anggota dari himpunan a kemudian jika sebaliknya jika kita ditanyakan Banyak pemetaan yang dapat didapat dari himpunan b ke himpunan a maka cara menghitungnya adalah dengan memangkatkan jumlah anggota pada himpunan a dipangkatkan oleh jumlah anggota pada himpunan b. Jadi pada semua Kali ini kita memiliki dua himpunan yaitu yang pertama adalah himpunan p yang terdiri dari 13 dan juga 5. Oleh karena itu jadi kita hitung maka kita mendapatkan jumlah anggota dari himpunan P yaitu 3 kemudian dari himpunan Q kita memiliki 4 anggota Oleh karena itu kita bisa tulis ini N = 4 Oleh karena itu jika yang ditanyakan adalah banyak pemetaan yang mungkin dari himpunan P ke himpunan Q maka kita menggunakan rumus jumlah anggota himpunan Q dipangkatkan dengan p maka kita akan jadikan 4 ^ 3 yang jika dipangkatkan hasilnya akan menjadi 64 oleh karena itu banyak pemetaan yang mungkin dari himpunan P ke himpunan Q adalah 64 sampai jumpa ada soal berikutnya Halo siswa nesaka.. melanjutkan materi sebelumnya tentang Menyatakan Relasi dan Konsep Fungsi Domain, Kodomain, Range, saat ini kita akan membahas mengenai Banyak Pemetaan & Korespondensi Satu-satu. Yuk langsung baca penjelasannya di bawah ini. Selamat belajar! Jika banyaknya anggota himpunan A adalah nA dan banyaknya anggota himpunan B adalah nB, maka Banyaknya fungsi yang mungkin dari A ke B = nBnA Banyaknya fungsi yang mungkin dari B ke A = nAnB Contoh Soal 1 Himpunan A ={1,2,3,4} dan B={A,B,C}, carilah a. Banyaknya fungsi yang mungkin dari A ke B b. Banyaknya fungsi yang mungkin dari B ke A Penyelesaian Diketahui nA = 4 dan nB = 3 a. Banyaknya fungsi yang mungkin dari A ke B = nBnA = 34 = 81 b. Banyaknya fungsi yang mungkin dari B ke A = nAnB = 43 = 64 Contoh Soal 2 Diketahui A = { p, q, r } dan B = { 2, 3, 4 }. Tentukan banyaknya pemetaan yang mungkin dari himpunan A ke himpunan B. Penyelesaian A = { p, q, r }, nA = 3 B = { 2, 3, 4 }, nB = 3 Banyaknya pemetaan dari A ke B yakni nBnA = 33 = 27 Contoh Soal 3 Diketahui p = {1, 2} dan q = {x, y, z}. Tentukan banyak fungsi yang mungkin dari himpunan q ke himpunan p dan himpunan p ke himpunan q! Penyelesaian p = {1, 2}, nP = 2 q = {x, y, z}, nQ = 3 Banyaknya fungsi dari q ke p yakni nPnQ = 23 = 8 Banyaknya fungsi dari p ke q yakni nQnP = 32 = 9 Korespondensi Satu-satu Mungkinkah satu rumah memiliki dua nomor rumah? Atau mungkinkah dua rumah memiliki nomor rumah yang sama? Tentu saja jawabannya tidak. Keadaan sebuah rumah memiliki satu nomor rumah atau satu nomor rumah dimiliki oleh sebuah rumah dikatakan sebagai korespondensi satu-satu. Jadi, apa pengertian korespondensi satu-satu? Sumber Contoh lain yang menunjukan korespondensi satu-satu adalah nomor absen siswa di kelas, tidak mungkin dalam satu kelas seorang siswa memiliki dua nomor absen, begitu juga sebaliknya tidak mungkin satu nomor absen dimiliki oleh dua orang siswa. Misalkan empat orang siswa dipanggil berdasarkan nomor urut absen 1 samapai 4 untuk maju ke depan untuk menjawab soal matematika tentang materi fungsi, yakni Eka, Wahyu, Mira dan Wahono. Selanjutnya jika kita misalkan A = {Eka, Wahyu, Mira, Wahono} dan B = {1, 2, 3, 4} maka “nomor absen” adalah relasi dari A ke B. Relasi “nomor absen” dari himpunan A ke himpunan B pada permasalahan di atas dapat digambarkan seperti gambar diagram panah di bawah ini. Sekarang coba perhatikan gambar diagram panah di atas! Dari gambar terlihat bahwa setiap anggota himpunan A mempunyai tepat satu kawan di himpunan B. Dengan demikian relasi “nomor absen” dari himpunan A ke himpunan B merupakan suatu pemetaan/fungsi. Nah pemetaan seperti itu disebut dengan istilah korespondensi satu-satu. Berdasarkan pemaparan di atas apa pengertian korespondensi satu-satu? Berdasarkan pemaparan di atas dapat disimpulkan bahwa korespondensi satu-satu adalah fungsi yang memetakan anggota dari himpunan A dan B, dimana semua anggota A dan B dapat dipasangkan sedemikian sehingga setiap anggota A berpasangan dengan tepat satu anggota B dan setiap anggota B berpasangan dengan tepat satu anggota A. Jadi, salah satu syarat suatu fungsi atau pemetaan dikatakan sebagai korespondensi satu-satu jika banyak anggota himpunan A dan B sama atau nA = nB. Bagaimana cara mencari banyak korespondensi satu-satu yang mungkin antara himpunan A dan B? Jika nA = nB = n maka banyak korespondensi satu-satu yang mungkin antara himpunan A dan B adalah n! = n × n – 1 × n – 2 × … × 3 × 2 × 1. n! dibaca n faktorial Contoh Soal 1 Himpunan A={1,2,3} dan himpunan B={A,B,C}. Tentukan banyaknya korespondensi satu-satu yang mungkin untuk himpunan A dan B! Penyelesaian Banyaknya korespondensi satu-satu yang mungkin untuk himpunan A dan B adalah 3! = 3 × 2 × 1 = 6 Contoh soal 2 Berapa banyak korespondensi satu-satu yang dapat dibuat dari himpunan K = {huruf vokal} dan L = {bilangan cacah antara 0 dan 6}? Penyelesaian K = {huruf vokal} ={a, i, u, e, o} L = {bilangan cacah antara 0 dan 6} = {1, 2, 3, 4, 5} nK = nL = 5 maka banyak korespondensi satu-satu yang mungkin antara himpunan K dan L adalah 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 buah Jadi banyak korespondensi satu-satu yang dapat dibuat dari himpunan K = {huruf vokal} dan L = {bilangan cacah antara 0 dan 6} adalah 120 buah. Referensi Video Pembelajaran Silakan kalian simak juga video pembelajaran berikut ini Evaluasi Materi Setelah menyimak materi di atas, silakan kalian isi form berikut ini Ada dua cara yang bisa digunakan untuk menentukan banyaknya pemetaan yang mungkin dari dua himpunan adalah dengan cara diagram panah dan dengan rumus. Untuk cara diagram panah terlalu ribet untuk diterapkan karena memerlukan waktu yang lama untuk pengerjaannya dan anda harus menggambar diagramnya satu persatu. Misalnya, jika A = {1, 2, 3} dan B= {a, b} maka nA = 3 dan nB = 2. Banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B ada 8, seperti tampak pada diagram panah pada gambar di bawah ini. Contoh soal di atas untuk nA = 3 dan nB = 2, bagaimana kalau nA = 30 dan nB = 20? Admin yakin Anda akan puyeng menggambar diagram panahnya satu persatu. Jadi perlu solusi lain untuk memecahkan masalah tersebut yakni dengan menggunakan rumus. Cara yang paling cepat menurut Mafia Online adalah dengan menggunakan rumus karena cara ini tidak memerlukan waktu untuk pengerjaannya dan tidak perlu menggambar diagram panah satu persatu. Untuk menentukan banyaknya pemetaan yang mungkin dari dua himpunan dengan rumus sebagai berikut. Jika banyaknya anggota himpunan A adalah nA = a dan banyaknya anggota himpunan B adalah nB = b maka banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B adalah ba dan banyaknya pemetaan yang mungkin dari B ke A adalah ab. Untuk memantapkan pemahaman Anda tentang cara menentukan banyaknya pemetaan yang mungkin dari dua himpunan, silahkan simak dua contoh soal di bawah ini. Contoh Soal 1 Jika A = {bilangan prima kurang dari 5} dan B = {huruf vokal}, hitunglah banyaknya pemetaan yang mungkin a. dari A ke B; b. dari B ke A, tanpa menggambar diagram panahnya. Penyelesaian A = {2, 3}, nA = 2 B = {a, e, i, o, u}, nB = 5 a. Banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B = ba = 52 = 25 b. Banyaknya pemetaan yang mungkin dari B ke A = ab = 25 = 32 Contoh Soal 2 Jika A = {x–2 < x < 2, x є B} dan B = {x x bilangan prima < 8}, tentukan a. banyaknya pemetaan dari A ke B; b. banyaknya pemetaan dari B ke A. Penyelesaian A = {x–2 < x < 2, x є B} = {-1, 0, 1}, nA = 3 B = {x x bilangan prima < 8} = {2, 3, 5, 7}, nA = 4 a. banyaknya pemetaan dari A ke B = ba = 43 = 64 b. banyaknya pemetaan dari B ke A = ab = 34 = 81Untuk contoh lebih banyak tentang cara menentukan banyaknya pemetaan yang mungkin dari dua himpunan tanpa harus menggambar diagram panah, silahkan baca postingan Mafia Online yang berjudul "Menentukan Banyak Pemetaan Tanpa Menggambar Diagram Panah" Demikian pembahasan tentang cara menentukan banyaknya pemetaan yang mungkin dari dua himpunan, lengkap dengan contoh soal dan pembahasannya. Mohon maaf jika ada kata-kata dan perhitungan yang salah dari postingan di atas. Dalam matematika, jika kita menyinggung topik tentang fungsi, pastilah komposisi fungsi tidak akan terlupa untuk dibahas. Komposisi fungsi adalah topik yang umum dipelajari pada mata kuliah Kalkulus I. Selain di jenjang kuliah, umumnya topik komposisi fungsi juga dipelajari pada kelas 10 SMA. Hanya saja, jika dibandingkan dengan jenjang SMA, topik komposisi fungsi pada jenjang perkuliahan terasa lebih sulit. Bisa jadi, hal tersebut dikarenakan topik komposisi fungsi pada jenjang perkuliahan sering melibatkan fungsi piecewise piecewise function. Di bawah ini adalah contoh fungsi piecewise. $fx = \begin{cases} x^2 & \text{,untuk } x\leq 0 \\ \frac{100-x}{100} & \text{,untuk } 0 1 ~~ x \in \mathbb{R} \}$. Langkah 4. Selidiki $\text{Domain}g$! Diketahui $ gx = \begin{cases} \sqrt{x} & \text{,untuk } x\geq 0 \\ & \\ \displaystyle \frac{1-x}{x} & \text{,untuk } x < 0 \end{cases}$. Fungsi $g$ tersebut merupakan fungsi piecewise. Untuk mempermudah penyebutan, fungsi piecewise tersebut kita pecah sebagai fungsi $g_1$ dan $g_2$ sebagai berikut. $g_1x = \sqrt{x}$, dan $g_2x = \displaystyle \frac{1-x}{x}$. Sehingga dengan demikian $ gx = \begin{cases} g_1x & \text{,untuk } x\geq 0 \\ & \\ g_2x & \text{,untuk } x < 0 \end{cases}$. Selanjutnya, kita akan menyelidiki fungsi $g_1$ dan $g_2$, seperti apakah sebetulnya mereka. 1. Selidik fungsi $g_1$. Diketahui $g_1x = \sqrt{x}$ dengan domainnya adalah $x\geq 0$. Sesuai definisi di atas, fungsi $g_1$ terdefinisi dengan baik. Untuk setiap $x\geq 0$, nilai $g_1x$ akan selalu $\geq 0$. 2. Selidik fungsi $g_2$. Diketahui $g_2x = \displaystyle \frac{1-x}{x} = \frac{1}{x} - 1$ dengan domainnya adalah $x < 0$. Sesuai definisi di atas, fungsi $g_2$ terdefinisi dengan baik. Untuk setiap $x < 0$, nilai $g_2x$ akan selalu $< 0$. Dari hasil penyelidikan di atas, diketahui bahwa fungsi $g_1$ dan $g_2$ terdefinisi dengan baik. Jadi, dapat disimpulkan bahwa $\text{Domain}g = \mathbb{R}$. Langkah 5. Selidiki apakah $\text{Range}f \subseteq \text{Domain}g$. Dari Langkah 3 di atas, kita mengetahui bahwa $\text{Range}f = -\infty, 1 \cup 1, \infty$. Dari Langkah 4 di atas, kita mengetahui bahwa $\text{Domain}g = \mathbb{R}$. Perhatikan bahwa $\text{Range}f = -\infty, 1 \cup 1, \infty = \mathbb{R} - \{1\}$. Jelas bahwa $\mathbb{R} - \{1\} \subset \mathbb{R}$. Dengan demikian berlaku $\text{Range}f \subset \text{Domain}g$. Dengan kata lain komposisi fungsi $g \circ f$ dapat dilakukan. Langkah 6. Konstruksi $\text{Domain}g \circ f$. Nah, bagian ini yang umumnya paling sering membuat bingung mahasiswa yang baru mempelajari Kalkulus I. Mari kita kerjakan secara pelan-pelan dan hati-hati supaya tidak salah. D Langkah 1 Karena yang "misi" kita adalah mengkonstruksi $\text{Domain}g \circ f$, maka pertama-tama kita harus mengamati fungsi $g$. Sebaliknya, jika "misi" kita adalah mengkonstruksi $\text{Domain}f \circ g$, maka pertama-tama kita harus mengamati fungsi $f$. Kembali ke "misi" utama kita sesuai pada soal. Kita akan mengkonstruksi $\text{Domain}g \circ f$. Oleh sebab itu, pertama-tama kita harus mengamati fungsi $g$. Ini adalah fungsi $g$ yang dimaksud. $gx = \begin{cases} g_1x = \sqrt{x} & \text{,untuk } x\geq 0 \\ & \\ \displaystyle g_2x = \frac{1-x}{x} & \text{,untuk } x < 0 \end{cases}$. Langkah 2 Selanjutnya, ajukan pertanyaan berikut. Apakah fungsi $g$ adalah fungsi piecewise? Jawabannya jelas adalah YA. Fungsi $g$ merupakan fungsi piecewise dengan 2 subfungsi, yaitu $g_1$ dan $g_2$. Selanjutnya, kita akan menyelidiki domain-domain subfungsi dari fungsi $g$, yaitu $g_1$ dan $g_2$. Langkah 3 Kita mulai dengan menyelidiki domain dari fungsi $g_1$. $g_1x = \sqrt{x} ~\text{, untuk } x\geq 0$ Ajukan pertanyaan ini. Untuk $\alpha \in \text{Domain}f$ apa sajakah yang menyebabkan $f\alpha \geq 0$? Perhatikan bahwa syarat kondisi $f\alpha \geq 0$ adalah sesuai dengan syarat domain $g_1$ yaitu $x \geq 0$. Kita lihat lagi grafik fungsi $f$ berikut. Perhatikan bagian kurva yang berwarna merah. Dari bagian yang berwarna merah di atas terlihat bahwa jika $\alpha$ berada di interval $-\infty, -2$ dan $[3, \infty$ akan menyebabkan $f\alpha \geq 0$. Karena $\displaystyle fx = \frac{x-3}{x+2}$ bukan fungsi piecewise, maka dengan demikian, $\displaystyle g_1 \circ fx = g_1fx = \sqrt{\frac{x-3}{x+2}}$ berlaku dan terdefinisi dengan baik jika $x$ berada di interval $-\infty, -2$ dan $[3, \infty$. Langkah 4 Kita lanjut dengan menyelidiki domain dari fungsi $g_2$. $\displaystyle g_2x = \frac{1-x}{x} = \frac{1}{x} - 1 ~\text{, untuk } x < 0$ Ajukan pertanyaan ini. Untuk $\alpha \in \text{Domain}f$ apa sajakah yang menyebabkan $f\alpha < 0$? Perhatikan bahwa syarat kondisi $f\alpha < 0$ adalah sesuai dengan syarat domain $g_2$ yaitu $x < 0$. Kita lihat lagi grafik fungsi $f$ ini. Perhatikan bagian kurva yang berwarna ungu. Dari bagian yang berwarna ungu di atas terlihat bahwa jika $\alpha$ berada di interval $-2, 3$ akan menyebabkan $f\alpha < 0$. Karena $\displaystyle fx = \frac{x-3}{x+2}$ bukan fungsi piecewise, maka dengan demikian, $\displaystyle g_2 \circ fx = g_2fx = \frac{1}{\left\frac{x-3}{x+2}\right} - 1 = \frac{5}{x-3}$ berlaku dan terdefinisi dengan baik jika $x$ berada di interval $-2, 3$. Langkah 7. Penyatuan Hasil. Dari Langkah 6 di atas kita mendapatkan hasil berikut. $\displaystyle g_1 \circ fx = g_1fx = \sqrt{\frac{x-3}{x+2}}$ berlaku dan terdefinisi dengan baik jika $x$ berada di interval $-\infty, -2$ dan $[3, \infty$. $\displaystyle g_2 \circ fx = g_2fx = \frac{1}{\left\frac{x-3}{x+2}\right} - 1 = \frac{5}{x-3}$ berlaku dan terdefinisi dengan baik jika $x$ berada di interval $-2, 3$. Dari hasil di atas, $g \circ f$ beserta domainnya dapat dibentuk sebagaimana berikut. $g\circ fx = \begin{cases} \displaystyle \sqrt{\frac{x-3}{x+2}} & \text{,untuk } x \in -\infty, -2 ~\text{ alias } x < -2 \\ \text{tidak terdefinisi} & \text{,untuk } x = -2 \\ & \\ \displaystyle \frac{5}{x-3} & \text{,untuk } x \in -2,3 ~\text{ alias } -2 < x < 3 \\ & \\ \displaystyle \sqrt{\frac{x-3}{x+2}} & \text{,untuk } x \in [3, \infty ~\text{ alias } x \geq 3 \end{cases}$ Kalkulus II » Turunan Fungsi Peubah Banyak › Optimasi Fungsi Peubah Banyak - Materi, Contoh Soal dan Pembahasan Turunan Oleh Tju Ji Long Statistisi Hub. WA 0812-5632-4552 Sebenarnya konsep mengenai optimasi fungsi telah dijelaskan dalam bahasan mengenai aplikasi turunan dalam Kalkulus 1. Di sana kita membahas bagaimana mencari nilai maksimum dan minimum untuk fungsi satu peubah. Akan tetapi, bagaimana jika fungsi yang ada bukan satu peubah, melainkan banyak peubah? Setelah selesai membaca tulisan ini, Anda akan bisa menjawabnya dengan yakin. Sekarang, andaikan \p=x,y\ dan \p_0=x_0,y_0\ masing-masing berupa sebuah titik peubah dan sebuah titik tetap, di ruang dimensi-dua. Kita definisikan nilai maksimum dan minimum sebagai berikut. Definisi Nilai Maksimum dan Minimum Andaikan \p_0\ suatu titik di \S\, yaitu daerah asal dari \f\. Maka \fp_0\ adalah nilai maksimum global dari \f\ pada \S\ jika \fp_o≥fp\ untuk semua \p\ di \S\. \fp_0\ adalah nilai minimum global dari \f\ pada \S\ jika \fp_o≤fp\ untuk semua \p\ di \S\. \fp_0\ adalah nilai ekstrem global dari \f\ pada \S\ jika ia adalah suatu nilai maksimum global atau suatu nilai nilai minimum global. Definisi yang sama berlaku dengan kata global digantikan oleh lokal jika pada i dan ii, kita hanya memerlukan bahwa pertidaksamaan berlaku pada \N∩S\, dengan N suatu lingkungan dari \p_0\. \fp_0\ adalah nilai ekstrem lokal \f\ pada \S\ jika \fp_0\ adalah sebuah nilai maksimum lokal atau nilai minimum lokal. Gambar 1 memberikan tafsiran geometri dari konsep yang telah kita definisikan. Perhatikan bahwa suatu maksimum atau minimum global secara otomatis adalah suatu maksimum atau minimum lokal. Gambar 1. Teorema A Teorema Keujudan Maksimum-Minimum Jika \f\ kontinu pada suatu himpunan tertutup dan terbatas \S\, maka \f\ mencapai suatu nilai maksimum global dan suatu nilai minimum global di \S\. Di mana Nilai-Nilai Ekstrem Muncul? Situasinya serupa seperti pada kasus satu peubah. Titik-titik kritis dari \f\ pada \S\ ada tiga jenis. Titik-titik batas. Titik-titik stasioner. Kita sebut \p_0\ suatu titik stasioner jika \p_0\ adalah suatu titik-dalam dari \S\ di mana \f\ dapat didiferensialkan dan \∇fp_0=0\. Pada titik yang demikian, bidang singgung adalah mendatar. Titik-titik singular. Kita sebut \p_0\ suatu titik singular jika \p_0\ adalah suatu titik-dalam dari \S\ di mana \f\ tidak dapat didiferensialkan – misalnya, titik di mana grafik \f\ mempunyai pojok tajam. Teorema B Teorema Titik Kritis Andaikan \f\ didefinisikan pada suatu himpunan S yang mengandung \p_0\. Jika \fp_0\ adalah suatu nilai ekstrem, maka \p_0\ haruslah berupa suatu titik kritis; yakni, \p_0\ berupa salah satu dari suatu titik batas dari \S\; atau suatu titik stasioner dari \f\; atau suatu titik singular dari \f\. Contoh 1 Cari nilai-nilai maksimum atau minimum lokal dari \fx,y=x^2-2x+y^2/4\. Penyelesaian Fungsi yang diberikan dapat didiferensialkan sepanjang daerah asalnya, yaitu bidang \xy\. Jadi, titik-titik kritis yang mungkin adalah titik-titik stasioner yang diperoleh dengan cara menetapkan \f_x x,y\ dan \f_y x,y\ sama dengan nol. Tetapi \f_x x,y=2x-2\ dan \f_y x,y=y/2\ adalah nol hanya jika \x = 1\ dan \y = 0\. Tinggal memutuskan apakah \1,0\ memberikan nilai maksimum atau nilai minimum atau bukan keduanya. Perhatikan bahwa \f1,0=-1\ dan Jadi, \f1,0\ sebenarnya adalah suatu minimum global untuk \f\. Tidak terdapat nilai-nilai maksimum lokal. Contoh 2 Tentukan nilai-nilai minimum atau maksimum lokal dari \fx,y=-x^2/a^2 +y^2/b^2\ . Penyelesaian Titik-titik kritis hanya diperoleh dengan menetapkan \f_x x,y=-2x/a^2\ dan \f_y x,y=2y/b^2\ sama dengan nol. Ini menghasilkan titik \0,0\, yang tidak memberikan suatu maksimum atau minimum lihat Gambar 2. Ini disebut titik pelana saddle point. Fungsi tersebut juga tidak mempunyai nilai ekstrim lokal. Gambar 2 Contoh 2 mengilustrasikan kenyataan yang menyulitkan bahwa \∇fx_0,y_0=0\ tidak menjamin bahwa terdapat suatu ekstrem lokal di \x_0,y_0\. Untunglah, terdapat suatu kriteria yang baik untuk menentukan apa yang terjadi di suatu titik stasioner – topik kita yang berikutnya. Syarat Cukup untuk Ekstrem Anda seharusnya memikirkan teorema berikut sebagai suatu analogi terhadap Uji Turunan Kedua untuk fungsi satu peubah. Bukti dapat ditemukan dalam buku-buku kalkulus lanjutan. Teorema C Uji Parsial-Kedua Andaikan bahwa \fx,y\ mempunyai turunan parsial kedua kontinu di suatu lingkungan dari \x_0,y_0\ dan bahwa \∇fx_0,y_0=0\. Ambil Maka jika \D > 0\ dan \f_{xx} x_0,y_0 0\ dan \f_{xx} x_0,y_0>0\, maka \fx_0,y_0\ adalah nilai minimum lokal; jika \D 0 \\[8pt] \end{aligned} Selain itu, karena \F_{xx} 1,-2=18>0\, sehingga menurut ii, \F1,-2=-10\ adalah nilai minimum lokal dari \F\. Dalam pengujian fungsi yang diberikan di titik kritis lainnya, \-1,-2\ kita dapatkan \F_{xx} -1,-2=-18, \ F_{yy} -1,-2=2\, dan \F_{xy} -1,-2=0\, yang menghasilkan \D=-360\ dan \f_{xx} 0,0=2>0\; sehingga \0, 0\ menghasilkan jarak minimum. Dengan mensubstitusikan \x = 0\ dan \y = 0\ ke dalam ekspresi untuk \d^2\, kita peroleh \d^2=4\. Jarak minimum antara titik asal dan permukaan yang diberikan adalah 2. Sumber Purcell, Edwin J., dan Dale Verberg. 1987. Calculus with Analytic Geometry, ed 5. Terjemahan Susila, I Nyoman, dkk. Kalkulus dan Geometri Analitis. Penerbit Erlangga. Purcell, Edwin J., Dale Verberg., dan Steve Rigdon. 2007. Calculus, ed 9. Penerbit Pearson. Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, bantu klik tombol suka di bawah ini dan tuliskan komentar Anda dengan bahasa yang sopan.

tentukan banyak fungsi yang mungkin